Ամբողջ գործակիցներով բազմանդամի ամբողջ արմատները

Դիտարկենք

P_{n} (x) = x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0}

բազմանդամը, որի ավագ անդամի գործակիցը հավասար է

1

-ի:

Թեորեմ: Եթե

P_{n} (x) = x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0}

բազմանդամի բոլոր գործակիցները ամբողջ թվեր են, և

m

ամբողջ թիվն այդ բազմանդամի արմատ է, ապա

m

թիվը

a_{0}

ազատ անդամի բաժանարար է:

Իրոք, եթե

m

թիվը

P_{n} (x)

բազմանդամի արմատ է, ապա

m^{n} + a_{n - 1} m^{n - 1} + ... + a_{1} m + a_{0} = 0

Հավասարությունն արտագրենք այս տեսքով՝

a_{0} = - m^{n} - a_{n - 1} m^{n - 1} - ... - a_{1} m

Աջ մասում փակագծերից դուրս բերենք

m

ընդհանուր արտադրիչը՝

a_{0} = m \cdot ({- m}^{n - 1} - a_{n - 1} m^{n - 2} - ... - a_{1})

Որտեղից՝

\frac{a_{0}}{m} = {- m}^{n - 1} - a_{n - 1} m^{n - 2} - ... - a_{1}

Քանի որ, ըստ պայմանի

m

-ը (ուրեմն նաև նրա բնական աստիճանները) և բազմանդամի բոլոր գործակիցներն ամբողջ թվեր են, ապա վերջին հավասարության աջ մասն ամբողջ թիվ է:

Սա հենց նշանակում է, որ

a_{0}

ազատ անդամը բաժանվում է

m

-ի:

Ուշադրություն

Դիտողություն: Թեորեմի հակառակ պնդումը ճիշտ չէ, այսինքն

a_{0}

-ի ոչ բոլոր բաժանարարներն են բազմանդամի արմատներ:

Այսպիսով, ամբողջ գործակիցներով

P_{n} (x) = x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0}

բազմանդամի ամբողջ արմատները գտնելու համար պետք է՝

1) գտնել

a_{0}

ազատ անդամի բոլոր բաժանարարները

2) ստուգել, թե դրանցից որո՞նք են բավարարում

P_{n} (x) = 0

հավասարմանը

Օրինակ

Դիտարկենք

P_{4} (x) = x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 1

բազմանդամը:

1. Այս բազմանդամի

a_{0} = 1

ազատ անդամն ունի երկու ամբողջ բաժանարար՝

1

և -

1

2. Տեղադրենք այս թվերը բազմանդամի մեջ:

\begin{array}{l} P_{4} (1) = 1^{4} - 1^{3} + 2 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0 \\ P_{4} (- 1) = {(- 1)}^{4} - {(- 1)}^{3} + 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1) + 1 = 1 + 1 + 2 + 3 + 1 = 8 \end{array}

Տեսնում ենք, որ

P_{4} (x) = 0

հավասարմանը բավարարում է միայն

1

թիվը:

Պատասխան՝

P_{4} (x) = x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 1

բազմանդամի միակ ամբողջ արմատը

1

թիվն է:

Աղբյուրները

Ս. Մ. Նիկոլսկի, Մ.Կ. Պոտապով, Ն.Ն. Րեշետնիկով, Ա.Վ. Շևկին, Հանրահաշիվ, 9-րդ դասարան, Անտարես, 2013

Նախորդ տեսություն

Վերադառնալ թեմային

Հաջորդ առաջադրանքը

Գրեք մեզ

Սխա՞լ ես գտել

Տեղեկացրու մեզ

2. Ամբողջ գործակիցներով բազմանդամի ամբողջ արմատները

Տեսություն