Վիետի թեորեմը — դաս։ Հանրահաշիվ, 8-րդ դասարան.

Վիետի թեորեմը

Ֆրանսուա Վիետ՝ (1540 -1603) ֆրանսիացի մաթեմատիկոս, կրթությամբ իրավաբան:

Այս թեորեմի միջոցով լուծում են քառակուսային հավասարումներ:

Առավել հարմար է Վիետի թեորեմը կիրառել բերված տեսքի հավասարումների (երբ \(a = 1\))

Եթե

x^{2} + px + q = 0

բերված տեսքի քառակուսային հավասարման տարբերիչը ոչ բացասական է, ապա՝

\{\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = q \\ x_{1} + x_{2} = - p \end{cases}

որտեղ

x_{1}

-ը և

x_{2}

-ը

x^{2} + px + q = 0

հավասարման արմատներն են:

Օրինակ

Լուծենք հետևյալ հավասարումը:

x^{2} - 14 x + 40 = 0, \{\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = 40 \\ x_{1} + x_{2} = 14 \end{cases} x_{1} = 10, x_{2} = 4

Վիետի թեորեմը տեղի ունի նաև ընդհանուր դեպքում, երբ \(a\)

\neq

\(1\)

Եթե

a x^{2} + bx + c = 0

քառակուսային հավասարման տարբերիչը ոչ բացասական է ապա՝

\{\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} \\ x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \end{cases}

որտեղ

x_{1}

-ը և

x_{2}

-ը

a x^{2} + bx + c = 0

հավասարման արմատներն են:

Իրոք, ընդհանուր դեպքը գալիս է բերված տեսքի դեպքին, եթե հավասարումը բաժանել \(a\) -ի վրա՝

\begin{array}{l} a x^{2} + bx + c = 0 | : a \\ \frac{a}{a} x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0 \Rightarrow x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0 \\ \{\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} \\ x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \end{cases} \end{array}

Օրինակ

Վիետի թեորեմի օգնությամբ լուծենք հավասարումը:

\begin{array}{l} 12 x^{2} + x - 1 = 0 \\ \frac{12}{12} x^{2} + \frac{1}{12} x - \frac{1}{12} = 0 \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{12} x - \frac{1}{12} = 0 \\ \{\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = - \frac{1}{12} \\ x_{1} + x_{2} = - \frac{1}{12} \end{cases} x_{1} = - \frac{1}{3} x_{2} = \frac{1}{4} \end{array}

Եթե Վիետի թեորեմի միջոցով հավասարման լուծումը բարդանում է, ապա կարող ես հավասարումը լուծել այլ եղանակով, իսկ Վիետի թեորեմի միջոցով կատարել ստուգումը:

\begin{array}{l} 2 x^{2} + 0, 8 x - 0, 1 = 0 \\ D = b^{2} - 4 ac = {0, 8}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 0, 1) = 1, 44 \\ x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 0, 8 + 1, 2}{2 \cdot 2} = 0, 1 \\ x_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 0, 8 - 1, 2}{2 \cdot 2} = - 0, 5 \end{array}

Ստուգում:

\begin{array}{l} 2 x^{2} + 0, 8 x - 0, 1 = 0 | : 2 \\ x^{2} + 0, 4 x - 0, 05 = 0 \\ \{\begin{cases} 0, 1 \cdot (- 0, 5) = - 0, 05 \\ 0, 1 - 0, 5 = - 0, 4 \end{cases} \end{array}

Եթե ստուգումն էլ է բարդանում, ապա անհրաժեշտ է պարզել արմատների նշանները: Բերված օրինակում արմատները պիտի ունենան իրարից տարբեր նշաններ, քանի որ \(c<0\):

Վիետի թեորեմի օգնությամբ, կարելի է կազմել քառակուսային հավասարումը, եթե հայտնի են նրա արմատները:

Օրինակ

Ո՞ր հավասարման արմատներն են \(2\) և \(-0,3\) թվերը:

\begin{array}{l} x^{2} + px + q = 0 \\ 2 + (- 0, 3) = 1,7 = - p \\ 2 \cdot (- 0,3) = - 0,6 = q \end{array}

Պատասխան՝

x^{2} - 1,7 x - 0,6 = 0

Աղբյուրները

Ս. Մ. Նիկոլսկի, Մ.Կ. Պոտապով, Ն.Ն. Րեշետնիկով, Ա.Վ. Շեվկին, Հանրահաշիվ, 8-րդ դասարան, Անտարես, 2012:

Վերադառնալ թեմային

Հաջորդ տեսությունը

Գրեք մեզ

Սխա՞լ ես գտել

Տեղեկացրու մեզ

1. Վիետի թեորեմը

Տեսություն