Վիետի թեորեմի կիրառությունը — դաս։ Հանրահաշիվ, 8-րդ դասարան.

Վիետի թեորեմը ոչ միայն որոշ կապեր է արտահայտում քառակուսային եռանդամի գործակիցների միջև, այլ հնարավորություն է տալիս ապացուցել կարևոր պնդումներ եռանդամի հատկությունների և արմատների վերաբերյալ:

Մենք արդեն ծանոթ ենք քառակուսային եռանդամի գխային արտադրիչների վերլուծման բանաձևին: Վիետի թեորեմի օգնությամբ ապացուցենք այդ պնդումը:

Եթե

x_{1}

-ը և

x_{2}

-ը

a x^{2} + bx + c

եռանդամի արմատներն են, ապա տեղի ունի հետևյալ բանաձևը՝

a x^{2} + bx + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Ապացուցում:

Ունենք՝

a x^{2} + bx + c = a \cdot (x^{2} + \frac{bx}{a} + \frac{c}{a})

Ըստ Վիետի թեորեմի՝

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

Հետևաբար,

\begin{array}{l} a \cdot (x^{2} + \frac{bx}{a} + \frac{c}{a}) = a (x - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2}) = a (x^{2} - x_{1} x - x_{2} x + x_{1} x_{2}) = \\ = a (x (x - x_{1}) - x_{2} (x - x_{1})) = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) \end{array}

Բերենք Վիետի թեորեմի հետ առնչվող մի քանի պնդումներ:

1) Եթե

a x^{2} + bx + c

եռանդամի տարբերիչը հավասար է զրոյի, այսինքն՝

x_{1} = x_{2}

, ապա ապացուցված բանաձևն ընդունում է հետևյալ տեսքը՝

a x^{2} + bx + c = a {(x - x_{1})}^{2}

2) Եթե քառակուսային եռանդամը վերլուծվում է գծային արտադրիչների, ապա այն արմատներ ունի:

3) Եթե քառակուսային եռանդամն արմատներ չունի, ապա այն հնարավոր չէ վերլուծել գծային արտադրիչների:

4) Եթե

x_{1}

-ը և

x_{2}

-ը այնպիսի թվեր են, որ

x_{1} + x_{2} = - p; x_{1} \cdot x_{2} = q

, ապա նրանք

x^{2} + px + q = 0

հավասարման արմատներն են:

Աղբյուրները

Ս. Մ. Նիկոլսկի, Մ.Կ. Պոտապով, Ն.Ն. Րեշետնիկով, Ա.Վ. Շեվկին, Հանրահաշիվ, 8-րդ դասարան, Անտարես, 2012:

Նախորդ տեսություն

Վերադառնալ թեմային

Հաջորդ առաջադրանքը

Գրեք մեզ

Սխա՞լ ես գտել

Տեղեկացրու մեզ

2. Վիետի թեորեմի կիրառությունը

Տեսություն