Ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի հատկությունները — դաս։ Հանրահաշիվ, 10-րդ դասարան.

Եթե \(a>0, b>0\) \(s\)-ը և \(t\)-ն կամայական ռացիոնալ թվեր են, ապա

\begin{array}{l} a^{s} \cdot a^{r} = a^{s + r} \\ a^{s} : a^{r} = a^{s - r} \\ {(a^{s})}^{r} = a^{s \cdot r} \\ {(a \cdot b)}^{s} = a^{s} \cdot b^{s} \\ {(\frac{a}{b})}^{s} = \frac{a^{s}}{b^{s}} \end{array}

Օրինակ

1) Պարզեցնենք

x^{\frac{2}{7}} \cdot x^{\frac{3}{5}}

արտահայտությունը:

Լուծում:

x^{\frac{2}{7}} \cdot x^{\frac{3}{5}} = x^{\frac{2}{7} + \frac{3}{5}} = x^{\frac{10}{35} + \frac{21}{35}} = x^{\frac{10 + 21}{35}} = x^{\frac{31}{35}}

2) Պարզեցնենք

{(z^{\frac{1}{2}})}^{\frac{3}{5}}

արտահայտությունը:

Լուծում:

{(z^{\frac{1}{2}})}^{\frac{3}{5}} = z^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}} = z^{\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 5}} = z^{\frac{3}{10}}

3) Պարզեցնենք

{(u^{\frac{1}{5}} + v^{\frac{1}{5}})}^{2} - 2 \sqrt[5]{uv} - \frac{1}{{(\sqrt[5]{v})}^{- 2}}

արտահայտությունը:

Լուծում:

Կիրառենք գումարի քառակուսու բանաձևը՝

\begin{array}{l} {(u^{\frac{1}{5}} + v^{\frac{1}{5}})}^{2} = {(u^{\frac{1}{5}})}^{2} + 2 \cdot u^{\frac{1}{5}} \cdot v^{\frac{1}{5}} + {(v^{\frac{1}{5}})}^{2} = u^{\frac{1}{5} \cdot 2} + 2 u^{\frac{1}{5}} v^{\frac{1}{5}} + v^{\frac{1}{5} \cdot 2} = \\ = u^{\frac{2}{5}} + 2 u^{\frac{1}{5}} v^{\frac{1}{5}} + v^{\frac{2}{5}} \end{array}

\(5\)-րդ աստիճանի արմատը գրենք աստիճանի տեսքով և կիրառենք արտադրյալի աստիճանի բանաձևը՝

2 \sqrt[5]{uv} = 2 \cdot {(uv)}^{\frac{1}{5}} = 2 \cdot u^{\frac{1}{5}} \cdot v^{\frac{1}{5}} = 2 u^{\frac{1}{5}} v^{\frac{1}{5}}

Ձևափոխենք արտահայտությունը՝

\frac{1}{{(\sqrt[5]{v})}^{- 2}} = {(\sqrt[5]{v})}^{2} = {(v^{\frac{1}{5}})}^{2} = v^{\frac{1}{5} \cdot 2} = v^{\frac{2}{5}}

Տեղադրենք սկզբնական արտահայտության մեջ և միացնենք նման անդամները՝

\begin{array}{l} {(u^{\frac{1}{5}} + v^{\frac{1}{5}})}^{2} - 2 \sqrt[5]{uv} - \frac{1}{{(\sqrt[5]{v})}^{- 2}} = (u^{\frac{2}{5}} + 2 u^{\frac{1}{5}} v^{\frac{1}{5}} + v^{\frac{2}{5}}) - 2 u^{\frac{1}{5}} v^{\frac{1}{5}} - v^{\frac{2}{5}} = \\ = u^{\frac{2}{5}} + 2 u^{\frac{1}{5}} v^{\frac{1}{5}} + v^{\frac{2}{5}} - 2 u^{\frac{1}{5}} v^{\frac{1}{5}} - v^{\frac{2}{5}} = u^{\frac{2}{5}} \end{array}

Նշենք \(n\)-րդ աստիճանի արմատի ևս երկու հատկություն:

Եթե \(a > 1\), և \(p > q\), ապա

a^{p} > a^{q}

Եթե \(0 < a < 1\), և \(p > q\), ապա

a^{p} < a^{q}

Աղբյուրները

Գ. Գ. Գևորգյան, Ա..Ա. Սահակյան, Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր, 10-րդ դասարան, Տիգրան Մեծ, 2009:

Սխա՞լ ես գտել

2. Ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի հատկությունները