Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը

Հաշվենք {

a_{n}

} թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին \(n\) անդամների գումարը՝

S_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n - 1} + a_{n}

Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին \(n\) անդամների գումարը կարելի է հաշվել

S_{n}

\(=\)

\frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2}

բանաձևով, որտեղ \(n\)-ը գումարելիների թիվն է:

Իրոք, եթե

S_{n}

գումարը երկու անգամ արտագրենք հակառակ հերթականություններով՝

S_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n - 1} + a_{n}

S_{n} = a_{n} + a_{n - 1} + ... + a_{2} + a_{1}

և գումարենք իրար տակ գտնվող անդամները, ապա կստանանք՝

2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) + (a_{2} + a_{n - 1}) + ... + (a_{n - 1} + a_{2}) + (a_{n} + a_{1})

Հեշտ է տեսնել, որ այս հավասարության բոլոր \(n\) փակագծերը իրար հավասար են,

օրինակ հաշվենք երկրորդը՝

a_{2} + a_{n - 1} = a_{1} + {d + a}_{n} - d = a_{1} {+ a}_{n}

Հետևաբար,

2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) + ... + (a_{1} + a_{n}) = (a_{1} + a_{n}) \cdot n

, և ուրեմն՝

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2}

Օրինակ

Հաշվենք {

a_{n}

}, թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին հինգ անդամների գումարը, եթե

a_{1}

\(= 6\) և

d

\(= 2\)

Գտնենք

a_{5}

-ը (այս դեպքում \(n = 5\))

a_{5}

\(=\)

a_{1}

\(+\)

4

d

\(= 6+8=14\)

S_{5} = \frac{(a_{1} + a_{5}) \cdot 5}{2} = \frac{(6 + 14) \cdot 5}{2} = 50

Եթե

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2}

բանաձևում կիրառենք թվաբանական պրոգրեսիայի \(n\)-րդ անդամի

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot n

բանաձևը, ապա կստանանք \(n\) անդամների գումարի ևս մեկ բանաձև՝

S_{n} = \frac{2 a_{1} + (n - 1) d}{2} \cdot n

Աղբյուրները

Ս. Մ. Նիկոլսկի, Մ.Կ. Պոտապով, Ն.Ն. Րեշետնիկով, Ա.Վ. Շեվկին, Հանրահաշիվ, 9-րդ դասարան, Անտարես, 2013

Սխա՞լ ես գտել

1. Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը