Սահմանափակ ֆունկցիաներ

\(y=f(x)\) ֆունկցիան անվանում են ներքևից սահմանափակ

X \subset D (f)

բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի \(m\) թիվ, որ ցանկացած

x \in X

արգումենտի համար տեղի ունի

f (x) \geq m

անհավասարությունը:

\(y=f(x)\) ֆունկցիան անվանում են վերևից սահմանափակ

X \subset D (f)

բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի \(M\) թիվ, որ ցանկացած

x \in X

արգումենտի համար տեղի ունի

f (x) \leq M

անհավասարությունը:

Օրինակ

ա)

y = x^{2}

ֆունկցիան սահմանափակ է ներքևից ամբողջ թվային առանցքի վրա, օրինակ զրոյով, քանի որ

x^{2} \geq 0

անհավասարությունը տեղի ունի ցանկացած իրական թվի համար:

բ)

y = - x^{2}

ֆունկցիան սահմանափակ է վերևից ամբողջ թվային առանցքի վրա, օրինակ զրոյով, քանի որ

- x^{2} \leq 0

անհավասարությունը տեղի ունի ցանկացած իրական թվի համար:

\(y=f(x)\) ֆունկցիան անվանում են սահմանափակ

X \subset D (f)

բազմության վրա, եթե այն սահմանափակ է և՛ ներքևից և՛ վերևից, այսինքն գոյություն ունեն այնպիսի \(m\) և \(M\) թվեր, որ ցանկացած

x \in X

արգումենտի համար տեղի ունի

m \leq f (x) \leq M

կրկնակի անհավասարությունը:

Ապացուցել ֆունկցիայի սահմանափակությունը` նշանակում է գտնել \(m\) և \(M\) թվերը:

Օրինակ

ա)

y = x^{3}

ֆունկցիան սահմանափակ է

x \in [1; 2]

բազմության վրա, քանի որ

1 \leq x^{3} \leq 8

անհավասարությունը տեղի ունի ցանկացած

x \in [1; 2]

արգումենտի համար:

բ) Նույն

y = x^{3}

ֆունկցիան

[0; + \infty)

բազմության վրա ներքևից սահմանափակ է զրոյով՝

x^{3} \geq 0

x \in [0; + \infty)

, սակայն վերևից սահմանափակ չէ, քանի որ այն ընդունում է ցանկացած դրական թվից մեծ արժեքներ:

Բերենք սահմանափակ ֆունկցիայի ևս մեկ սահմանում, որը համարժեք է արդեն տրված սահմանմանը:

\(y=f(x)\) ֆունկցիան անվանում են սահմանափակ

X \subset D (f)

բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի \(A\) թիվ, որ ցանկացած

x \in X

արգումենտի համար տեղի ունի

|f (x)| \leq A

անհավասարությունը:

Աղբյուրները

Ս. Մ. Նիկոլսկի, Մ.Կ. Պոտապով, Ն.Ն. Րեշետնիկով, Ա.Վ. Շեվկին, Հանրահաշիվ, 9-րդ դասարան, Անտարես, 2013:

Սխա՞լ ես գտել

1. Սահմանափակ ֆունկցիաներ