Քառակուսային հավասարման լուծումը — դաս։ Հանրահաշիվ, 8-րդ դասարան.

a x^{2} + bx + c = 0

տեսքի հավասարումը, որտեղ \(a\) -ն, \(b\) -ն և \(c\) -ն իրական թվեր են, և

a \neq 0

, կոչվում է քառակուսային հավասարում:

Քառակուսային հավասարման արմատները հաշվում են հետևյալ բանաձևերով՝

x_{1}

\(=\)

\frac{- b + \sqrt{D}}{2 \cdot a}

x_{2}

\(=\)

\frac{- (b - \sqrt{D})}{2 \cdot a}

, որտեղ \(D =\)

b^{2} - 4ac

\(D\) -ն անվանում են քառակուսային հավասարման տարբերիչ կամ դիսկրիմինանտ:

Ուշադրություն

Թերի քառակուսային հավասարումը կարող է ունենալ մեկ կամ երկու արմատ, կամ էլ չունենալ ոչ մեկը:

Քառակուսային հավասարման արմատների գոյության հարցը և դրանց քանակը կախված \(D\) տարբերիչի արժեքից:

1) Եթե \(D < 0\) (բացասական է), ապա քառակուսային հավասարումը արմատներ չունի:

2) Եթե \(D = 0\), ապա քառակուսային հավասարումն ունի ճիշտ մեկ արմատ:

3) Եթե \(D > 0\) (դրական է), ապա քառակուսային հավասարումն ունի երկու իրարից տարբեր արմատներ:

Օրինակ

Լուծենք հետևյալ քառակուսային հավասարումները՝

3 x^{2} - 5 x + 4 = 0

25 x^{2} - 10 x + 1 = 0

x^{2} - 6 x + 5 = 0

2 x^{2} - 4 x - 3 = 0

Լուծումներ:

1) Հաշվենք

3 x^{2} - 5 x + 4 = 0

հավասարման տարբերիչը՝

D = 5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 25 - 48 = - 23 < 0

Պատասխան՝ հավասարումը արմատներ չունի:

2) Հաշվենք

25 x^{2} - 10 x + 1 = 0

հավասարման տարբերիչը՝

D = 10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0

Հավասարումն ունի մեկ արմատ՝

x = \frac{- (- 10) + \sqrt{0}}{2 \cdot 25} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5} = 0.2

Պատասխան՝

x = 0.2

3) Հաշվենք

x^{2} - 6 x + 5 = 0

հավասարման տարբերիչը՝

D = {(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 > 0

Հավասարումն ունի երկու արմատ՝

x_{1, 2} = \frac{- (- 6) \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}

Պատասխան՝

x_{1} = 5, x_{2} = 1

4) Հաշվենք

2 x^{2} - 4 x - 3 = 0

հավասարման տարբերիչը՝

D = 4^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 2 = 16 + 24 = 40 > 0

Հավասարումն ունի երկու արմատ՝

x_{1, 2} = \frac{- (- 4) \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 10}}{2} = 2 \pm \sqrt{10}

Ուշադրություն

Եթե թվերն արմատի տակից դուրս չեն գալիս, դա չի նշանակում, որ հավասարումը լուծում չունի: Այդ դեպքում արմատներն իռացիոնալ թվեր են:

Աղբյուրները

Ս. Մ. Նիկոլսկի, Մ.Կ. Պոտապով, Ն.Ն. Րեշետնիկով, Ա.Վ. Շեվկին, Հանրահաշիվ, 8-րդ դասարան, Անտարես, 2012:

Սխա՞լ ես գտել

1. Քառակուսային հավասարման լուծումը