Բնական ցուցիչով աստիճան, դրա հատկությունները

Գոյություն ունի թիվն ինքն իրենով մի քանի անգամ բազմապատկելու կարճ գրելաձև, օրինակ՝

\begin{array}{l} \underset{⏟}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{7}} \\ 7 անգամ \end{array}

a^{n}

որտեղ՝ \(n = 2, 3, 4, 5, ..., )\) գրելով հասկանում ենք \(n\) արտադրիչների արտադրյալը, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է \(a\) թվին:

a^{n}

արտահայտությունն անվանում են \(n\)-րդ աստիճան, \(a\)-ն՝ աստիճանի հիմք, իսկ \(n\) թիվը՝ աստիճանացույց:

\(n\) թիվը նաև կարճ անվանում են բնական ցուցիչ, քանի որ այն բնական թիվ է (թիվ, որը օգտագործվում է առարկաներ հաշվելիս):

Ուշադրություն

\begin{array}{l} \underset{⏟}{a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a} = a^{n} \\ n անգամ \end{array}

a^{n}

բնական ցուցիչով աստիճան,

\(a\) հիմք

\(n\) աստիճանացույց

a^{n}

գրառումը կարդում են այսպես՝ «\(a\)-ի \(n\) աստիճան» կամ «\(a\)-ն՝ բարձրացրած \(n\) աստիճան»:

a^{2}

գրառումը կարդում են՝ «\(a\)-ի քառակուսի» կամ «\(a\)-ի երկրորդ աստիճան»:

a^{3}

գրառումը կարդում են՝ «\(a\)-ի խորանարդ» կամ «\(a\)-ի երրորդ աստիճան»:

Օրինակ

Կիրառելով համապատասխան տերմինները,

3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

արտադրյալը գրենք աստիճանի տեսքով:

Լուծում:

Քանի որ տրված է հինգ արտադրիչների արտադրյալ, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է \(3\) -ի, ապա՝

3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{5}

3^{5}

աստիճան

\(3\) հիմք

\(5\) աստիճանացույց

Օրինակ

Հաշվենք.

ա)

{(- 3)}^{4}

Լուծում՝

{(- 3)}^{4} = (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) = 81

բ)

{(\frac{4}{11})}^{2}

Լուծում՝

{(\frac{4}{11})}^{2} = \frac{4}{11} \cdot \frac{4}{11} = \frac{4 \cdot 4}{11 \cdot 11} = \frac{16}{121}

գ)

\begin{array}{l} 1^{20} = \underset{⏟}{1 \cdot 1 \cdot .... \cdot 1} = 1 \\ 20 անգամ \\ 0^{9} = \underset{⏟}{0 \cdot 0 \cdot .... \cdot 0} = 0 \\ 9 անգամ \end{array}

\(a\) թվի \(1\) ցուցիչով աստիճանը հավասար է հենց \(a\) թվին՝

a^{1} = a

\begin{array}{l} 0^{1} = 0 \\ {(- 25)}^{1} = - 25 \\ {(\frac{1}{17})}^{1} = \frac{1}{17} \end{array}

Եթե

n

-ը և

m

-ը բնական թվեր են, ապա տեղի ունեն հետևյալ հավասարությունները.

a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}

(միևնույն հիմքով աստիճանները բազմապատկելիս հիմքը մնում է նույնը, իսկ ցուցիչները գումարվում են),

{(ab)}^{n} = a^{n} \cdot b^{n}

(տառերի արտադրյալն աստիճան բարձրացնելիս պետք է տառերից յուրաքանչյուրը բարձրացնել այդ աստիճան և արդյունքները բազմապատկել),

{(a^{n})}^{m} = a^{nm}

(տառի աստիճանը նոր աստիճան բարձրացնելիս հիմքը մնում է նույնը, իսկ ցուցիչները բազմապատկվում են):

Այս հավասարությունների ճշմարիտ լինելը հաստատվում է հետևյալ օրինակներով:

\begin{array}{l} a^{3} \cdot a^{2} = aaa \cdot aa = aaaaa = a^{5} = a^{3 + 2} \\ {(ab)}^{2} = (ab) \cdot (ab) = aa \cdot bb = a^{2} \cdot b^{2} \\ {(a^{2})}^{3} = a^{2} \cdot a^{2} {\cdot a}^{2} = aaaaaa = a^{6} = a^{2 \cdot 3} \end{array}

Աղբյուրները

Ս. Մ. Նիկոլսկի, Մ.Կ. Պոտապով, Ն.Ն. Րեշետնիկով, Ա.Վ. Շեվկին, Հանրահաշիվ, 7-րդ դասարան, Անտարես, 2011:

Սխա՞լ ես գտել

1. Բնական ցուցիչով աստիճան, դրա հատկությունները