Կոմպլեքս թվի n աստիճանը — դաս։ Հանրահաշիվ, 10-րդ դասարան.

Կոմպլեքս թվի

z = r (\cos ϕ + i \sin ϕ)

եռանկյունաչափական տեսքն օգտագործելով ստանում ենք կոմպլեքս թվերի բազմապատկման և բաժանման պարզ բանաձևեր:

Ստուգենք, որ

z_{1} = r_{1} (\cos ϕ_{1} + i \sin ϕ_{2}) և z_{2} = r_{2} (\cos ϕ_{2} + i \sin ϕ_{2})

կոմպլեքս թվերի արտադրյալը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով՝

z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} r_{2} \cdot (\cos (ϕ_{1} + ϕ_{2}) + i \sin (ϕ_{1} {+ ϕ}_{2}))

Իրոք, կիրառելով գումարի կոսինուսի և սինուսի բանաձևերը, ստանում ենք՝

\begin{array}{l} z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot (\cos ϕ_{1} + i \sin ϕ_{1}) \cdot r_{2} \cdot (\cos ϕ_{2} + i \sin ϕ_{2}) = \\ = r_{1} r_{2} \cdot ((\cos ϕ_{1} \cos ϕ_{2} - \sin ϕ_{1} \sin ϕ_{2}) + i (\sin ϕ_{1} \cos ϕ_{2} + i \sin ϕ_{2} \cos ϕ_{1})) = \\ = r_{1} r_{2} \cdot (\cos (ϕ_{1} {+ ϕ}_{2}) + i \sin (ϕ_{1} + ϕ_{2})) \end{array}

Այսպիսով, երկու կոմպլեքս թվերի արտադրյալի մոդուլը հավասար է արտադրիչների մոդուլների արտադրյալին, իսկ արգումենտը՝ արգումենտների գումարին՝

z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} r_{2} \cdot (\cos (ϕ_{1} + ϕ_{2}) + i \sin (ϕ_{1} {+ ϕ}_{2}))

Հաջորդաբար կիրառելով այս կանոնը

z = r (\cos ϕ + i \sin ϕ)

թվի համար, ստանում ենք՝

z^{2} = r^{2} \cdot (\cos 2 ϕ + i \sin 2 ϕ), z^{3} = r^{3} \cdot (\cos 3 ϕ + i \sin 3 ϕ), ...

Այսպիսով, կամայական

n \in ℕ

թվի համար տեղի ունի հետևյալ բանաձևը՝

z^{n} = r^{n} \cdot (\cos n ϕ + i \sin n ϕ)

Այս բանաձևը կոչվում է Մուավրի բանաձև:

Ինքնուրույն համոզվիր, որ երկու կոմպլեքս թվերի քանորդի մոդուլը հավասար է բաժանելիի և բաժանարարի մոդուլների հարաբերությանը, իսկ արգումենտը՝ արգումենտների տարբերությանը՝

\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot (\cos (ϕ_{1} - ϕ_{2}) + i \sin (ϕ_{1} - ϕ_{2}))

Քանի որ,

1 = \cos 0 + i \sin 0

, ապա օգտագործելով քանորդի կանոնը,

z = r (\cos ϕ + i \sin ϕ)

թվի համար, ստանում ենք՝

\begin{array}{l} z^{- 1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{r \cdot (\cos ϕ + i \sin ϕ)} = \frac{r^{0} \cdot (\cos 0 + i \sin 0)}{r \cdot (\cos ϕ + i \sin ϕ)} = \frac{1}{r} \cdot (\cos (0 - ϕ) + i \sin (0 - ϕ)) = \\ = \frac{1}{r} \cdot (\cos (- ϕ) + i \sin (- ϕ)) \end{array}

Այս բանաձևը համադրելով Մուավրի բանաձևի հետ, սատնում ենք, որ Մուավրի բանաձևը տեղի ունի ցանկացած ամբողջ ցուցիչի համար՝

z^{n} = r^{n} \cdot (\cos n ϕ + i \sin n ϕ)

n \in ℤ

Ակնհայտ է, որ

|\bar{z}| = |z| և \arg \bar{z} = - \arg z

Հետևաբար, եթե

|z| = r = 1

, ապա ապացուցված

\frac{1}{z} = \frac{1}{r} \cdot (\cos (- ϕ) + i \sin (- ϕ))

բանաձևից ստանում ենք՝

z^{- 1} = \cos (- ϕ) + i \sin (- ϕ) = \cos ϕ - \sin ϕ = \bar{z}

Այսպիսով, ապացուցեցինք, որ միավոր շրջանագծի վրա գտնվող կոմպլեքս թվի հակադարձ թիվը հավասար է նրա համալուծին

z^{- 1} = \bar{z}

Աղբյուրները

Գ. Գ. Գևորգյան, Ա..Ա. Սահակյան, Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր, 10-րդ դասարան, Տիգրան Մեծ, 2009:

Վերադառնալ թեմային

Հաջորդ առաջադրանքը

Գրեք մեզ

Սխա՞լ ես գտել

Տեղեկացրու մեզ

1. Կոմպլեքս թվի n աստիճանը

Տեսություն