Կոմպլեքս թվի n-րդ աստիճանի արմատը — դաս։ Հանրահաշիվ, 10-րդ դասարան.

Վերադարնանք արդեն դիտարկված հավասարմանը՝

x^{2} + 1 = 0

Պարզ է, որ \(i\)-ն և \(-i\)-ն այդ հավասարման լուծումներն են: Սակայն պետք է պարզել՝ կա՞ն արդյոք ուրիշ լուծումներ ևս:

Դիտարկենք ավելի ընդհանուր խնդիր. տրված

c = r (\cos ϕ + i \sin ϕ)

կոմպլեքս թվի և

n \in ℕ

թվի համար գտնել

z^{n} = c

հավասարման բոլոր արմատները:

z^{n} = c

հավասարման յուրաքանչյուր լուծում կոչվում է \(n\)-րդ աստիճանի արմատ \(c\) կոմպլեքս թվից:

Դիտարկենք էական դեպքը, դիցուք

c \neq 0

Անհայտ \(z\) կոմպլեքս թիվը փնտրենք եռանկյունաչափական տեսքով՝

z = x (\cos α + i \sin α)

Տեղադրելով

z^{n} = c

հավասարման մեջ, և կիրառելով Մուավրի բանաձևը, ստանում ենք՝

x^{n} \cdot (\cos n ϕ + i \sin n ϕ) = r \cdot (\cos ϕ + i \sin ϕ)

Այստեղից հետևում է, որ

x = \sqrt[n]{r} և n α = ϕ + 2 π k, k \in ℤ

Այստեղից՝

α = \frac{ϕ}{n} + \frac{2 π}{n} k, k \in ℤ

Բացառելով կրկնվող թվերը, ստանում ենք, որ

z^{n} = c

հավասարումն ունի ճիշտ \(n\) արամատ:

z^{n} = c

հավասարումն ունի \(n\) հատ արամատ: Դրանք են՝

z_{k} = \sqrt[n]{r} (\cos α_{k} + i \sin α_{k})

, որտեղ

α_{k} = \frac{ϕ}{n} + \frac{2 π}{n} k, k = 0, 1, ..., n - 1

Օրինակ

Դիտարկենք \(n = 2\) դեպքը, այսինքն,

z^{2} = c

հավասարումը

Այս հավասարումն ունի երկու արմատ՝

\begin{array}{l} z_{0} = \sqrt{|c|} (\cos \frac{\arg c}{2} + i \sin \frac{\arg c}{2}) (k = 0) \\ z_{1} = \sqrt{|c|} (\cos (\frac{\arg c}{2} + π) + i \sin (\frac{\arg c}{2} + π)) (k = 1) \end{array}

Երկորդ արմատի համար կիրառելով բերման բանաձևերը, ստանում ենք երկու արմատների վերջնական տեսքը՝

\begin{array}{l} z_{0} = \sqrt{|c|} (\cos \frac{\arg c}{2} + i \sin \frac{\arg c}{2}) (k = 0) \\ z_{1} = - \sqrt{|c|} (\cos \frac{\arg c}{2} + i \sin \frac{\arg c}{2}) (k = 1) \end{array}

Նկատենք որ,

z_{1} = - z_{0}

Աղբյուրները

Գ. Գ. Գևորգյան, Ա..Ա. Սահակյան, Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր, 10-րդ դասարան, Տիգրան Մեծ, 2009:

Սխա՞լ ես գտել

1. Կոմպլեքս թվի n-րդ աստիճանի արմատը