Այս թեմայում մենք կընդլայնենք թվերի մասին մեր պատկերացումները:
Ուսումնասիրելով քառակուսային հավասարումները մենք հանդիպում ենք դեպքերի, երբ հավասարումներն արմատ չունեն:
Օրինակ՝ հավասարումը արմատ չունի, քանի որ յուրաքանչյուր իրական թվի քառակուսին ոչ բացասական թիվ է, որին \(1\) գումարելով \(0\) չի ստացվի:
Հետևաբար, որպեսզի հավասարումն արմատ ունենա, պետք է ներմուծել այնպիսի «թիվ», որի քառակուսին \(-1\)-ն է: Այդ երևակայական (ոչ իրական թիվը) նշանակում են \(i\) տառով և անվանում կեղծ միավոր:
Կեղծ միավոր անվանում են այն «թիվը», որի համար տեղի ունի՝ հավասարությունը:
Ներմուծենք այլ կեղծ թվեր:
Իրական \(b\) թվի և \(i\) կեղծ միավորի արտադրյալը նշանակում են \(bi\) և անվանում են կեղծ թիվ:
Համարում են, որ \(bi = ib\)
1) Իրական և կեղծ թվերի արտադրյալը սահմանվում է հետևյալ բանաձևով՝
\(a·(bi) = (bi)·a = (a·b)i\), որտեղ \(a\)-ն և \(b\)-ն իրական թվեր են:
2) Երկու կեղծ թվերի արտադրյալը սահմանվում է հետևյալ բանաձևով՝
\(ai)·(bi) = abi² = - ab\), որտեղ \(a\)-ն և \(b\)-ն իրական թվեր են:
Օրինակ
Օրինակ՝
Իրական և կեղծ թվերի գումարն անվանում են կեմպլեքս թիվ:
Կոմպլեքս թիվ կոչվում է \(a + bi\) արտահայտությունը, որտեղ \(a\)-ն և \(b\)-ն իրական թվեր են:
Եթե \(z = a + bi\), ապա \(a\) իրական թիվն անվանում են \(z\) կոմպլեքս թվի իրական մաս, իսկ \(bi\)-ն՝ \(z\)-ի կեղծ մաս:
Պարզ է, որ իրական և կեղծ թվերը կոմպլեքս թվեր են:
Ընդունված է \(z\) կոմպլեքս թվի իրական մասը նշանակել \(Re z\), իսկ կեղծ մասը՝ \(Im z\)
Եթե \(z = a + bi\), ապա \(Re z = a, Im z = bi\)
Մասնավորապես՝
եթե \(z\)-ը կեղծ թիվ է, ապա՝ \(Re z = 0\)
Երկու կոմպլեքս թվեր հավասար են, եթե նրանց իրական մասերն իրար են հավասար, իսկ կեղծ մասերը՝ իրար:
Եթե \(z = a + bi\) և \(w = u + vi\) կոմպլեքս թվերն իրար հավասար են, ապա \(a = u\) և \(b = v\):
Աղբյուրները
Գ. Գ. Գևորգյան, Ա..Ա. Սահակյան, Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր, 10-րդ դասարան, Տիգրան Մեծ, 2009: