Իրական թվի իռացիոնալ ցուցիչով աստիճան — դաս։ Հանրահաշիվ, 10-րդ դասարան.

Փորձենք հասկանալ, թե ինչպե՞ս պետք է սահմանել իրական թվի իռացիոնալ ցուցիչով աստիճանը:

Օրինակ, տեսնենք, թե ինչպե՞ս է որոշվում

3^{\sqrt{2}}

թիվը:

Հասկանալի է, որ

3^{\sqrt{2}}

թիվը իռացիոնալ թիվ է և պետք է ներկայացվի անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակի տեսքով՝

3^{\sqrt{2}} = a_{0}, a_{1} a_{2} a_{3} ...

Ուստի, սահմանել

3^{\sqrt{2}}

թիվը նշանակում է գտնել

a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} ...

թվանշանները:

\sqrt{2}

-ը իռացիոնալ թիվ է, ուրեմն այն ներկայացվում է անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակի տեսքով՝

\sqrt{2} = 1, 414213...

Դիտարկենք այս անվերջ կոտորակի մոտարկումները պակասորդով և հավելուրդով՝

\begin{array}{l} 1.4 < \sqrt{2} < 1.5 \\ 1.41 < \sqrt{2} < 1.42 \\ 1.414 < \sqrt{2} < 1.415 \\ .................................... \end{array}

Հետևաբար,

3^{\sqrt{2}}

թիվը պետք է բավարարի հետևյալ անհավասարումներին՝

\begin{array}{l} 3^{1.4} < 3^{\sqrt{2}} < 3^{1.5} \\ 3^{1.41} < 3^{\sqrt{2}} < 3^{1.42} \\ 3^{1.414} < 3^{\sqrt{2}} < 3^{1.415} \\ .................................... \end{array}

Նկատենք, որ այս անհավասարությունների ձախ և աջ մասերում գրված աստիճանների ցուցիչները ռացիոնալ թվեր են: Ուստի, դրանք արդեն սահմանված են և, դրանց արժեքները կարելի է հաշվել հաշվիչով:

Օրինակ՝

3^{1.41} = 4, 70...

3^{1.42} = 4, 75...

Տեղադրենք այս արժեքները վերևի անհավասարություններից երկրորդի մեջ՝

4, 70... < 3^{\sqrt{2}} < 4, 75...

Այս հավասարությունից գտնում ենք

3^{\sqrt{2}} = a_{0}, a_{1} a_{2} a_{3} ...

ներկայացման առաջին և երկրորդ թվանշանները՝

a_{0} = 4, a_{1} = 7

: Այսպիսով,

3^{\sqrt{2}} = 4, 7...

Նույն ձևով, հաջորդաբար գտնում ենք

3^{\sqrt{2}} = a_{0}, a_{1} a_{2} a_{3} ...

ներկայացման մնացած թվանշանները:

Այսպես կարելի է սահմանել կամայական \(a > 1\) թվի \(x > 0\) իռացիոնալ ցուցիչով աստիճանը՝

a^{x}

\(a > 1\) և \(x < 0\) դեպքում

a^{x}

-ը սահմանում ենք այսպես՝

a^{x} = \frac{1}{a^{- x}}

\(0 < a < 1\) և ցանկացած \(x\)-ի համար

a^{x}

-ը սահմանում ենք այսպես՝

a^{x} = {(\frac{1}{a})}^{- x}

\(a = 1\) դեպքում

1^{x} = 1

կամայական իրական \(x\)-ի համար:

\(a = 0\) դեպքում

0^{x} = 0

կամայական դրական \(x\)-ի համար:

Աղբյուրները

Գ. Գ. Գևորգյան, Ա..Ա. Սահակյան, Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր, 10-րդ դասարան, Տիգրան Մեծ, 2009:

Վերադառնալ թեմային

Հաջորդ տեսությունը

Գրեք մեզ

Սխա՞լ ես գտել

Տեղեկացրու մեզ

1. Իրական թվի իռացիոնալ ցուցիչով աստիճան

Տեսություն