Կրկնակի անկյան սինուսի և կոսինուսի բանաձևերը — դաս։ Հանրահաշիվ, 10-րդ դասարան.

Կրկնակի անկյան բանաձևերը թույլ են տալիս կրկնակի անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն արտահայտել սովորական (մեկական) արգումենտով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջոցով:

Այդ բանաձևերը կապում են \(sin 2x, cos 2 x, tg 2 x\) և \(sin x, cos x, tg x\) ֆունկցիաները:

Ապացուցենք կրկնակի անկյան բանաձևերը սինուսի և կոսինուսի համար:

1. \(sin 2x\) ֆունկցիայի արգումենտը ներկայացնենք \(2 x=x+x\) տեսքով և կիրառենք գումարի սինուսի բանաձևը՝

\sin (α + β) = \sin α \cdot \cos β + \cos α \cdot \sin β

Ստանում ենք՝

\sin 2 x = \sin (x + x) = \sin x \cdot \cos x + \cos x \cdot \sin x = 2 \sin x \cdot \cos x

Այսպիսով, տեղի ունի կրկնակի անկյան սինուսի բանաձևը

\sin 2 x = 2 \sin x \cdot \cos x

2. Նույն ձևով \(cos 2x\) ֆունկցիայի արգումենտը ներկայացնենք \(2 x=x+x\) տեսքով և կիրառենք գումարի կոսինուսի բանաձևը՝

\cos (α + β) = \cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β

Ստանում ենք՝

\cos 2 x = \cos (x + x) = \cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x = \cos^{2} x - \sin^{2} x

Այսպիսով, տեղի ունի կրկնակի անկյան սինուսի բանաձևը՝

\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x

Այստեղից և

\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1

նույնությունից ստանում ենք հետևյալ բանաձևերը՝

cos2x = 1 - 2 \sin^{2} x, cos2x = 2 \cos^{2} x - 1

Ուշադրություն

Կրկնակի անկյան սինուսի և կոսինուսի բանաձևերը տեղի ունեն ցանկացած անկյան համար:

Ապացուցված բանաձևերը կարելի է դիտարկել նաև այն դեպքերում, երբ արգումենտում \(x\)-ի փոխարեն մասնակցում է ավելի բարդ տեսքի անկյուն: Օրինակ, տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը՝

\sin 4 x = 2 \sin 2 x \cdot \cos 2 x

\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}

\cos 48 ° = \cos^{2} 24 ° - \sin^{2} 24 °

\cos (2 x + 6 y) = {\cos 2 (x + 3 y) = \cos}^{2} (x + 3 y) - \sin^{2} (x + 3 y)

և այլն:

Աղբյուրները

Գ. Գ. Գևորգյան, Ա..Ա. Սահակյան, Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր, 10-րդ դասարան, Տիգրան Մեծ, 2009:

Վերադառնալ թեմային

Հաջորդ առաջադրանքը

Գրեք մեզ

Սխա՞լ ես գտել

Տեղեկացրու մեզ

1. Կրկնակի անկյան սինուսի և կոսինուսի բանաձևերը

Տեսություն