1. Զուգահեռ ուղիղների սահմանումը և հարթության վրա դրանց հատկությունների ապացուցումը

 

Հարթության վրա երկու ուղիղներ կա՛մ ունեն ընդամենը մեկ ընդհանուր կետ, կա՛մ չունեն ոչ մի ընդհանուր կետ: 

 

Առաջին դեպքում ասում են, որ ուղիղները հատվում են, իսկ երկրորդ դեպքում՝ չեն հատվում:

Հարթության վրա գտնվող ուղիղների զուգահեռության հայտանիշներից մեկն ասում է հետևյալը.

Այս հայտանիշը հեշտ է ապացուցել, եթե հիշենք, որ հարթության վրա ցանկացած կետից տրված ուղղին կարելի է տանել միայն մեկ ուղղահայաց:

 

Ենթադրենք, թե նույն ուղղին ուղղահայաց ուղիղները զուգահեռ չեն, այսինքն՝ ունեն ընդհանուր կետ: 

 

Ստացվում է հակասություն՝ մեկ \(H\) կետից \(c\) ուղղին տարված են երկու ուղղահայացներ: Այդպիսի բան հնարավոր չէ, ուստի նույն ուղղին ուղղահայաց երկու ուղիղները զուգահեռ են:

 

Այս անկյունները կօգնեն ձևակերպել \(a\) և \(b\) ուղիղների զուգահեռությունը: Այսպիսով, հարթության մեջ ուղիղների զուգահեռության մյուս հայտանիշն ասում է հետևյալը.

 

Սրանք, ըստ էության, երեք առանձին հայտանիշներ են, բայց մենք դրանք միավորեցինք մեկ հայտանիշի մեջ:

  

 

Սկզբում ապացուցենք, որ եթե \(a\) և \(b\) ուղիղները հատվում են \(c\) ուղղով, և խաչադիր անկյունները հավասար են, ապա \(a\) և \(b\) ուղիղները զուգահեռ են:

 

Օրինակ, եթե$\measuredangle 3=\measuredangle 5$, ապա$a\parallel b$

 

 

\(1\)) \(C\)-ով և \(D\)-ով նշանակենք այն կետերը, որոնցում \(a\) և \(b\) ուղիղները հատվում են \(c\) ուղղի կողմից: Այդ հատվածի \(K\) միջնակետով տանենք \(AB\) ուղղահայացը \(a\) ուղղին:

 

\(2\))$\measuredangle \mathit{CKA}$\(=\)$\measuredangle \mathit{DKB}$, որպես հակադիր անկյուններ,$\measuredangle 3$\(=\)$\measuredangle 5$\(=\)$\mathrm{\alpha }$, \(CK = KD\)՝ հետևաբար՝ $\mathrm{\Delta }\mathit{CKA}$\(=\)$\mathrm{\Delta }\mathit{DKB}$, ըստ եռանկյունների հավասարության երկրորդ հայտանիշի: 

 

\(3\)) Ակնհայտ է, որ եթե $\mathrm{\Delta }\mathit{CKA}$ ուղղանկյուն եռանկյուն է, ապա ուղղանկյուն է նաև $\mathrm{\Delta }\mathit{DKB}$ եռանկյունը, և \(AB\)-ն ուղղահայաց է \(b\) ուղղին:

 

\(4\)) Համաձայն առաջին հայտանիշի, եթե ուղիղները ուղղահայաց են նույն ուղղին, ապա նրանք զուգահեռ են:  

 

\(5\)) Այն դեպքում, երբ հավասար են համապատասխան անկյունները, նկատի ենք ունենում, որ հակադիր անկյունները հավասար են, և ապացույցը տանում ենք նույն \(1-4\) քայլերով:

 

 

\(6\)) Այն դեպքում, երբ միակողմանի անկյունների գումարը հավասար է \(180°\)-ի, նկատի ենք ունենում, որ կից անկյունների գումարը ևս հավասար է \(180°\)-ի և ապացույցը շարունակում ենք \(1 - 4\) կետերով: 
 

 

3. Ապացուցված հայտանիշը կարելի է ձևակերպել որպես զուգահեռ ուղիղների հատկություն: