1. Միջնագիծ, կիսորդ և բարձրություն, հավասարասրուն եռանկյուններ

\(C\) կետը կոչվում է ուղղահայացի հիմք:

  

Ապացուցենք, որ \(BC\) ուղղին չպատկանող \(A\) կետից կարելի է տանել ուղղահայաց այդ ուղղին:  

 

Դիցուք, տրված է$\measuredangle \mathit{ABC}$ անկյունը:

 

\(BC\) ճառագայթի մյուս կողմից տեղադրենք անկյուն, որը հավասար է տրվածին և վերադրենք երկու անկյունները (պատկերացնենք, թե անկյունները թղթի վրա են, և ծալենք թուղթը \(BC\) կողմի երկայնքով):

 

\(BA\) կողմը կհամընկնի $B{A}_1$ կողմի հետ: Ընդ որում, \(A\) կետը կհամընկնի որևէ $A_1$ կետի հետ:

 

Հետևաբար, համընկում են $\measuredangle \mathit{ACB}$ և$\measuredangle A_1\mathit{CB}$ անկյունները:

 

Բայց $\measuredangle \mathit{ACB}$ և$\measuredangle A_1\mathit{CB}$ անկյունները կից են, ուրեմն՝ դրանք երկուսն էլ ուղիղ են:

 

${\mathit{AA}}_1$ ուղիղը ուղղահայաց է \(BC\) ուղղին, իսկ \(AC\) հատվածը հանդիսանում է ուղղահայաց՝ տարված \(A\) կետից \(BC\) ուղղին: 

 

Եթե ենթադրենք, որ \(A\) կետից կարելի է տանել ևս մեկ ուղղահայաց \(BC\) ուղղին, ապա այն կգտնվի մի ուղղի վրա, որը կհատվի ${\mathit{AA}}_1$-ի հետ: Բայց, նույն ուղղին ուղղահայաց ուղիղները զուգահեռ են և չեն կարող հատվել: 

 

Այս հակասությունը նշանակում է, որ տրված կետից ուղղին կարելի է տանել միայն մեկ ուղղահայաց:

Ուստի միջնագծի կառուցման համար պետք է կատարել հետևյալ գործողությունները:

1. Գտնել կողմի միջնակետը:

2. Միացնել այդ միջնակետը հանդիպակաց գագաթի հետ: Հենց դա կլինի եռանկյան միջնագիծը:

Եռանկյունն ունի երեք կողմ, հետևաբար՝ կարելի է կառուցել երեք միջնագիծ:

Ուստի, կիսորդի կառուցման համար պետք է կատարել հետևյալ գործողությունները՝

1. Կառուցել եռանկյան որևէ անկյան կիսորդը (անկյան կիսորդը անկյան գագաթից դուրս եկող ճառագայթ է, որը կիսում է անկյունը):
2. Գտնել անկյան կիսորդի հատման կետը հանդիպակաց կողմի հետ:
3. Միացնել գտնված կետը հանդիպակաց գագաթի հետ: Հենց դա կլինի եռանկյան կիսորդը:

Եռանկյունն ունի երեք անկյուն, հետևաբար՝ կարելի է կառուցել երեք կիսորդ:

Ուստի, բարձրության կառուցման համար պետք է կատարել հետևյալ գործողություները՝

1. Տանել եռանկյան կողմը պարունակող ուղիղը (կարևոր է այն դեպքում, եթե բարձրությունն իջեցնում ենք բութանկյուն եռանկյան սուր անկյունից):
2. Տարված ուղղի հանդիպակաց գագաթից իջեցնենք ուղղահայաց այդ ուղղին (ուղղահայացը եռանկյան գագաթից տարված հատված է, որը կազմում է հանդիպակաց կողմի հետ $90\mathrm{°}$-ի անկյուն): Հենց դա կլինի եռանկյան բարձրությունը:  

Միջնագծերի և կիսորդների պես եռանկյունն ունի երեք բարձրություն:

Որոշ եռանկյունների համար բարձրությունների կառուցումը և դրանց հատման կետերի դիրքերը տարբերվում են:

 

Ուղիղ անկյուն ունեցող եռանկյան մեջ ուղիղ անկյուն առաջացնող կողմերը եռանկյան բարձրություններն են, քանի որ դրանք փոխուղղահայաց են: Այս դեպքում բարձրությունների հատման կետը փոխուղղահայաց կողմերի ընդհանուր գագաթն է:

Եթե եռանկյունն ունի բութ անկյուն, ապա սուր անկյուններից իջեցված բարձրությունները դուրս են գալիս եռանկյունից՝ դեպի շարունակված կողմերը: Բարձրությունները պարունակող ուղիղներն այս դեպքում հատվում են եռանկյունից դուրս:

\(AB = BC\)՝ սրունքներ, \(AC\)՝ հիմք

Հավասարասրուն եռանկյունն ունի որոշ հատկություններ, որոնք այլ եռանկյուններ չունեն:

Առաջին և երկրորդ հատկություններն ապացուցված կլինեն, եթե ապացուցենք, որ հիմքին հանդիպակաց անկյան \(BD\) կիսորդով առաջացած երկու եռանկյունները հավասար են:

Դիտարկենք \(AC\) հիմքով \(ABC\) հավասարասրուն եռանկյունը և ապացուցենք, որ $\mathrm{\Delta }\mathit{ABD}=\mathrm{\Delta }\mathit{CBD}$

 

Դիցուք \(BD\)-ն \(ABC\) եռանկյան կիսորդն է: Եռանկյունների հավասարության առաջին հայտանիշից եզրակացնում ենք, որ $\mathrm{\Delta }\mathit{ABD}=\mathrm{\Delta }\mathit{CBD}$ (\(AB = BC\) ըստ պայմանի, \(BD\)-ն ընդհանուր կողմ է, $\measuredangle \mathit{ABD}=\measuredangle \mathit{CBD}$, քանի որ \(BD\)-ն կիսորդ է):

 

Հավասար եռանկյունների բոլոր համապատասխան մեծությունները հավասար են:

 

1. $\measuredangle A=\measuredangle C$՝ ապացուցված է, որ հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են:

 

2. \(AD = DC\)՝ ապացուցված է, որ կիսորդը նաև միջնագիծ է:

 

3. $\measuredangle \mathit{ADB}=\measuredangle \mathit{CDB}$՝ որպես կից անկյուններ, որոնց գումարը հավասար է $180\mathrm{°}$-ի:

 

Ուստի, դրանցից յուրաքանչյուրը հավասար է $90\mathrm{°}$-ի, ինչը նշանակում է, որ միջնագիծը նաև բարձրություն է:

Շատ հեշտ կարելի է ինքնուրույն ապացուցել նաև հավասարասրուն եռանկյունների երրորդ և չորրորդ հատկությունները: