1. Երեք հարթությունների վերաբերյալ թեորեմներ

 

 

Դիցուք $\mathrm{\alpha }$-ն և $\mathrm{\beta }$-ն զուգահեռ հարթություններ են, $\mathrm{\gamma }$ հարթությունները հատում են դրանք:  

\(a\) ուղիղը $\mathrm{\alpha }$ և $\mathrm{\gamma }$ հարթություների հատման գիծն է:

\(b\) ուղիղը $\mathrm{\beta }$ և $\mathrm{\gamma }$ հարթություների հատման գիծն է:

 

\(a\) և \(b\) ուղիղները գտնվում են միևնույն $\mathrm{\gamma }$ հարթության մեջ, ուստի, դրանք կամ հատվող են, կամ էլ՝ զուգահեռ են: Քանի որ դրանք ընկած են երկու զուգահեռ հարթություններում, ապա դրանք ընդհանուր կետեր ունենալ չեն կարող:

 

Այսպիսով, \(a\) և \(b\) ուղիղները զուգահեռ են:

 

Թեորեմն ապացուցված է:

 

 

  

Դիցուք $\mathrm{\alpha }$-ն և $\mathrm{\beta }$-ն զուգահեռ հարթություններ են, \(a\) և \(b\) զուգահեռ ուղիղները հատում են դրանք:

Քանի որ \(a\) և \(b\) ուղիղները զուգահեռ են, ապա դրանցով անցնում է միակ հարթությունը:

Այդ հարթությունը $\mathrm{\alpha }$ հարթությունը հատում է \(AB\) ուղղով, իսկ $\mathrm{\beta }$ հարթությունը՝ \(CD\) ուղղով: 

Ըստ նախորդ թեորեմի \(AB\) և \(CD\) ուղիղները զուգահեռ են:

Առաջացած \(ABCD\) քառանկյունը զուգահեռագիծ է (նրա հանդիպակաց կողմերը զուգահեռ են): Զուգահեռագծի հանդիպակաց կողմերը հավասար են, ուստի, \(BC = AD\)